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  • Forme bilinéaire - Bilinéarité

    Formulaire de report

    En bref

    On dit qu'une fonction est bilinéaire si elle est linéaire à gauche et linéaire à droite

    (Linéarité à droite, Linéarité à gauche)

    Définition

    Définition :
    Une application \(\sigma:E\times E\to{\Bbb K}\) du produit cartésien \(E\times E\) à valeur dans \({\Bbb K}\) est dite forme bilinéaire si \(\sigma\) est une forme linéaire sur chaque variable

    (Fonction de plusieurs variables, Forme linéaire)

    Propriétés

    Matrice

    Proposition :
    On suppose que \(\operatorname{dim} E=n\) et on fixe une base \(\{e_i\}^n_{i=1}\) de \(E\)
    \(\forall x,y\in E\), on a : $$\begin{align} x&=\sum^n_{i=1}x_ie_i\quad\text{ et }\quad y=\sum^n_{j=1}y_je_j\\ \sigma(x,y)&=\sum^n_{i=1}x_i\left(\sum^n_{j=1}a_{ij}y_j\right)\\ &={{x^TAy}}\end{align}$$ où \(A={{(a_{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\} } }}\)
    \(A\) est dite la matrice de \(\sigma\) dans les bases \(\{e_i\}^n_{i=1}\) de \(E\), avec $${{a_{i,j} }}={{\sigma(e_i,e_j)}}$$

    (Matrice transposée)

    Consigne: Définir la matrice d'une forme bilinéaire

    Écrire \(\sigma(x,y)\) comme une somme
    $$\sigma(x,y)=\sum^n_{i,j=1}a_{ij}x_iy_j$$

    Séparer la somme en deux

    $$=\sum_{i=1}x_i\sum_{j=1}a_{ij}y_j$$
    La matrice est donc donnée par les coefficients \(a_{ij}\)

    Changement de base

    Proposition :
    Soient \(\{e_i\}^n_{i=1},\{e_i'\}^n_{i=1}\) deux bases de \(E\) et \(C=(c_{ij})\) la matrice de changement de base $$e'_i={{\sum^n_{i=1}c_{ji}e_j}}$$

    (Changement de base)

    Formule de changement de base pour une forme bilinéaire :
    Soient \(\{e_i\}^n_{i=1}\) et \(\{e_i^\prime\}^n_{i=1}\) deux bases $${{A^\prime=C^TAC}}\quad\text{ avec }\quad\begin{array}{l}A^\prime{{\text{ la matrice de }\sigma\text{ dans la base }\{e^\prime_i\}^n_{i=0} }}\\ A{{\text{ la matrice de }\sigma\text{ dans la base }\{e_i\}^n_{i=0} }}\\ C{{\text{ la matrice de passage de }\{e_i\}^n_{i=0}\text{ à }\{e_i^\prime\}^n_{i=0} }}\end{array}$$

    (Matrice transposée)

    Consigne: Démontrer la formule de changement de matrice d'une forme bilinéaire

    Coordonnées de \(x\) et \(y\) dans l'autre base s'obtiennent en les multipliant par une matrice
    Si \(x^\prime\) et \(y^\prime\) sont les expressions de \(x\) et \(y\) dans une autre base de \(E\), alors on a : $$x^\prime=Cx\quad\text{ et }\quad y^\prime=Cy,\quad\text{ avec }\quad C\text{ une matrice}$$

    Exprimer la forme matricielle de \(\sigma(x^\prime,y^\prime)\)

    Si \(A\) est la matrice de \(\sigma\) dans la base de départ, on a alors $$\begin{align}\sigma(x^\prime,y^\prime)&=\sigma(Cx,Cy)\\ &=(Cx)^TACy\\ &=x^T\underbrace{C^TAC}_By\end{align}$$

    Proposition :
    Après changement de base dans la base \(\{e'_i\}^n_{i=1}\), \(\sigma\) a la forme : $$\sigma(x',y')={{x^T\underbrace{C^TAC}_By}}$$ avec \(B\) la matrice dans la base \(\{e'_i\}^n_{i=1}\)

    (Matrice transposée, Forme bilinéaire - Bilinéarité (Matrice))

    Inversibilité

    \(M\) est inversible si et seulement si $$MX=0\implies X=0$$

    (Matrice inversible - Inversion de matrice)

    Noyau

    Noyau - Espace nul (algèbre bilinéaire)

    Ecriture sous forme de produit scalaire

    $${{\sigma(x,y)=x^TAy}}={{\langle x\mid Ay\rangle}}$$

    (Produit scalaire)

    Exemples

    - Produit scalaire \(\langle x\mid y\rangle=\sum^n_{i=1}x_iy_i\)
    - Intégrale - Intégration du produit \(\sigma(f,g)=\int^1_0(fg)(t)\,dt\)
    - Trace du produit \(\sigma(A,B)=\operatorname{trace}(AB)\)
    - Déterminant
    - \(\sigma(x,y)=f(x)g(y)\) où \(f\) et \(g\) sont des formes linéaires

    Exercices

    Montrer que c'est une forme bilinéaire

    Consigne: Soit \(f:{\Bbb R}^3\times{\Bbb R}^3\to{\Bbb R}\), \(f(x,y)=x_1y_1+x_1y_2-4x_2y_1+3x_2y_2-2x_2y_3+4x_3y_3\), où \(x=(x_1,x_2,x_3)\) et \(y=(y_1,y_2,y_3)\)
    Montrer que \(f\) est une forme bilinéaire et trouver sa matrice dans la base canonique
    Est-elle symétrique ? Anti-symétrique ? Dégénérée ou non-dégénérée ?

    Une phrase suffit
    \(f\) est bilinéaire car c'est une combinaison linéaire de fonctions du type \(x_i\cdot y_j\), qui est linéaire sur \(x\) et sur \(y\)

    Caractéristiques de \(f\) via la matrice

    La matrice de \(f\) est : $$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\ -4&3&-2\\ 0&0&4\end{pmatrix}$$
    Cette matrice n'est ni symétrique ni anti-symétrique, donc \(f\) n'est ni symétrique ni anti-symétrique
    De plus, \(\ker A\) est trivial (\(\operatorname{det} A\ne0\)), donc \(f\) est non-dégénérée

    Consigne: Soit \(f:{\Bbb R}^2\times{\Bbb R}^2\to{\Bbb R},f((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_1-x_1y_2+2x_2y_2\)
    Montrer que c'est une forme bilinéaire

    Phrase

    C'est une combinaison linéaire de fonctions de la forme \(xy\), qui est linéaire sur \(x\) et \(y\)
    \(f\) est donc bien une forme bilinéaire

    Trouver la matrice dans une base

    Consigne: Soit \(f:{\Bbb R}^2\times{\Bbb R}^2\to{\Bbb R},f((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_1-x_1y_2+2x_2y_2\) une forme bilinéaire
    Trouver la matrice \(A\) de \(f\) dans la base canonique de \({\Bbb R}^2\) \({\mathcal B}=\{(1,0),(0,1)\}\)

    $$A=\begin{pmatrix}1&-1\\ 0&2\end{pmatrix}$$

    Consigne: Soit \(f:{\Bbb R}^2\times{\Bbb R}^2\to{\Bbb R},f((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_1-x_1y_2+2x_2y_2\) une forme bilinéaire
    Trouver la matrice \(B\) de \(f\) dans la base \({\mathcal B}^\prime=\{(1,1),(1,-1)\}\)

    Calculer l'image par \(f\) des vecteurs de la base

    On note \(e_1^\prime=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\) et \(e^\prime_2=\begin{pmatrix}1\\ -1\end{pmatrix}\)
    Alors $$\begin{align} b_{11}&=f(e^\prime_1,e^\prime_1)=2\\ b_{12}&=f(e^\prime_1,e^\prime_2)=0\\ b_{21}&=f(e^\prime_2,e^\prime_1)=-2\\ b_{22}&=f(e^\prime_2,e^\prime_2)=4\end{align}$$ donc $$B=\begin{pmatrix}2&0\\ -2&4\end{pmatrix}$$

    Consigne: Soit \(f:{\Bbb R}^2\times{\Bbb R}^2\to{\Bbb R},f((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_1-x_1y_2+2x_2y_2\) une forme bilinéaire de matrice dans la base canonique \(A=\begin{pmatrix}1&-1\\ 0&2\end{pmatrix}\)
    Trouver la matrice \(B\) de \(f\) dans la base \({\mathcal B}^\prime=\{(1,1),(1,-1)\}\) via un changement de base

    Matrices de transition
    $$C=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&-1\end{pmatrix}\quad\text{ et }\quad C^T=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&-1\end{pmatrix}$$

    Changement de base

    $$B=C^TAC=\begin{pmatrix}2&0\\ -2&4\end{pmatrix}$$

    Ecrire à partir d'une matrice

    Consigne: Soit \(\sigma:{\Bbb R}^3\times{\Bbb R}^3\to{\Bbb R}\) une forme bilinéaire donc la matrice dans une base est : $$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&-1\end{pmatrix}$$ écrire \(\sigma\) dans cette base
    \(\sigma\) est-elle symétrique ?

    $$\sigma(x,y)=x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_3+x_3y_2-x_3y_3$$
    \(\sigma\) est symétrique

    Trouver une base telle que la matrice a une certaine forme

    Consigne: Soit \(\sigma:{\Bbb R}^3\times{\Bbb R}^3\to{\Bbb R}\) une forme bilinéaire donc la matrice dans une base est : $$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&-1\end{pmatrix}$$
    On a \(\sigma(x,y)=x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_3+x_3y_2-x_3y_3\) et \(\ker\sigma=\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}1\\ -1\\ -1\end{pmatrix}\)
    Trouver une base \({\mathcal B}=\{v_0,v_1,v_2\}\) dans laquelle la matrice de \(\sigma\) est : $$B=\begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&C\\ 0&C&0\end{pmatrix}\quad\text{ avec }\quad C\ne0$$

    Première colonne nulle \(\to\) correspond à un vecteur du \(\ker\)
    Puisque la première colonne est nulle, il correspond à un vecteur \(v_0\in\ker\sigma\) car \(\sigma(v_0,v_i)=0\) pour \(i\in\{0,1,2\}\), et donc \(\sigma(v_0,x)=0\) pour tout \(x\in{\Bbb R}^3\) (par bilinéarité de \(\sigma\))
    Donc $$v_0\in\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}1\\ -1\\ -1\end{pmatrix}$$

    Diagonale nulle \(\to\) correspond à des vecteurs isotropes
    \(v_i,v_2\) sont isotropes car \(\sigma(v_1,v_1)=\sigma(v_2,v_2)=0\) (et puisque \(\sigma(v_1,v_2)=\sigma(v_2,v_1)=C\ne0\), \(v_1,v_2\notin\ker\sigma\))
    On cherche donc des vecteurs isotropes de \(\sigma\) : $$0=x^2_1+2x_1x_2+2x_2x_3-x^2_3$$

    Pas besoin d'avoir TOUS les vecteurs isotropes \(\to\) on peut fixer l'un des \(x_i=0\)
    Pour \(x_2=0\), on a $$x_1^2=x^2_3\implies x_1=\pm x_3$$ donc on a $$v_1\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\quad\text{ et }\quad v_2\begin{pmatrix}1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}$$

    Vérifier que \((v_0,v_1,v_2)\) forment une base
    \({\mathcal B}=(v_0,v_1,v_2)\) est bien une base de \({\Bbb R}^3\) car $$\begin{vmatrix}1&1&1\\ -1&0&0\\ -1&1&-1\end{vmatrix}=-\left(-\begin{vmatrix}1&1\\ 1&-1\end{vmatrix}\right)=-2\ne0$$

    Déterminer la constante \(C\)

    De plus, \(C=\sigma(v_1,v_2)=2\)


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